函数零点与方程的根

什么是函数的零点

零点是定义域中的一个数，不是函数值 $0$，也不是图象上的点 $(x_0,0)$。三者彼此相关，但对象不同：$x_0$ 是输入，$0$ 是这个输入对应的函数值，$(x_0,0)$ 则把输入与函数值合在一对坐标里。

定义中的 $x_0\in D$ 不能省略。函数在某个数处没有定义，这个数就不是函数允许的输入，更不能成为函数的零点。

三种说法为什么等价

对定义域中的同一个实数 $x_0$，三种说法都落在同一个条件上：

用方程说：$x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的实数根，当且仅当代入后等式成立，也就是 $f(x_0)=0$。这正是方程根的含义。

用函数说：$x_0$ 是函数 $f$ 的零点，当且仅当 $f(x_0)=0$。这正是上一节的零点定义。

用图象说：图象上的点具有坐标 $(x,f(x))$，而 $x$ 轴上的点纵坐标为 $0$。因此，$f(x_0)=0$ 当且仅当 $(x_0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点。

所以，求方程的实数根、求函数零点和求图象与 $x$ 轴交点的横坐标，可以互相转换。对应的是同一个输入数 $x_0$，而不是把一个数与一个点混为一谈。

在一个一般函数中核对

把这三种语言放到同一个函数上。取定义域为全体实数的函数

先通过因式分解寻找使函数值为零的输入：

乘积等于 $0$，当且仅当至少一个因式等于 $0$。因此，方程 $x^3-x=0$ 的实数根为 $-1$、$0$、$1$。这三个数也是函数的零点，对应图象上的三个 $x$ 轴交点：

看曲线与 $x$ 轴相交的位置。每个交点的纵坐标都是 $0$，横坐标分别为 $-1$、$0$、$1$。

这里的因式分解只是找出这组数的方法；三种语言的对应关系并不依赖函数必须是多项式。

定义域会排除形式上的候选

寻找使函数值为零的输入时，还要回到定义域。例如函数

的定义域不含 $x=1$。虽然分子在 $x=1$ 时等于 $0$，但原函数在这里没有函数值，所以 $1$ 不是 $g$ 的零点。