变底数的对数函数 [选学]

自变量与定义域

先确定什么在变

固定常数 $N>0$ 且 $N\ne1$，定义

$$f_N(x)=\log_xN.$$

这里 $N$ 始终不变，$x$ 才是自变量。

$x$ 在对数的底数位置，必须满足 $x>0$ 且 $x\ne1$，所以定义域是

$$(0,1)\cup(1,+\infty).$$

$x=0$ 和负数都不能作为实数对数的底数；以 $1$ 为底，也无法用不同指数表示不同的正数。

这里把 $N=1$ 排除在研究范围外，不是说式子没有意义。对所有合法的 $x$，都有 $\log_x1=0$。这时得到的是分布在 $x$ 轴上的零函数，不再具有下面讨论的非零两分支结构。

换底公式

换底公式揭示变化来源

要看清底数变化怎样影响函数值，先把底数换成一个固定的数。取任意固定底数 $a>1$，由换底公式得到

$$f_N(x)=\log_xN=\frac{\log_aN}{\log_ax}.$$

分子 $\log_aN$ 是由 $N$ 决定的常数，真正随 $x$ 变化的是分母 $\log_ax$。

因为 $a>1$，$\log_ax$ 随 $x$ 增大而增大：在 $0<x<1$ 时为负，在 $x>1$ 时为正。从这个商出发，就能判断函数值的符号和单调方向，无须使用导数。

分支与象限

两个分支分别落在哪个象限

分母的符号已经确定，再看分子 $\log_aN$ 的符号，就能找到两个分支的位置。

当 $N>1$ 时，分子为正。在 $(0,1)$ 上，分母为负，因此 $f_N(x)<0$，这一支位于第四象限；在 $(1,+\infty)$ 上，分母为正，因此 $f_N(x)>0$，这一支位于第一象限。

当 $0<N<1$ 时，分子为负。符号恰好反过来：$(0,1)$ 上的分支位于第一象限，$(1,+\infty)$ 上的分支位于第四象限。

两种情形中，$x$ 都为正，整幅图象只分布在第一、第四象限。又因为 $N\ne1$，分子不为零，所以函数值不会等于 $0$，图象不与 $x$ 轴相交。

分支单调性

单调方向为什么随 $N$ 改变

判断变化方向时，必须在同一个分支内比较。在 $(0,1)$ 或 $(1,+\infty)$ 内任取 $x_1<x_2$，记

$$u_1=\log_ax_1,\qquad u_2=\log_ax_2.$$

因为 $a>1$，对数函数递增，所以 $u_1<u_2$。两点又在同一分支内，$u_1$、$u_2$ 同号，因此 $u_1u_2>0$。

把两个倒数相减并通分：

$$\frac1{u_1}-\frac1{u_2}=\frac{u_2-u_1}{u_1u_2}>0.$$

右边的分子 $u_2-u_1$ 和分母 $u_1u_2$ 都为正，所以差为正，即 $\dfrac1{u_1}>\dfrac1{u_2}$。这说明 $\dfrac1{\log_ax}$ 在两个区间上分别严格递减。

当 $N>1$ 时，常数 $\log_aN$ 为正，乘上它不改变大小关系，所以 $f_N(x)$ 在两个区间上分别单调递减。

当 $0<N<1$ 时，常数 $\log_aN$ 为负，乘上它会反转大小关系，所以 $f_N(x)$ 在两个区间上分别单调递增。

两个区间不能合并成一个单调区间。$x=1$ 不在定义域内，而且跨过 $1$ 后函数值会改变符号，跨分支比较也不符合相应的单调方向。“分别”二字不能省略。

倒数参数对称

倒数参数带来关于 $x$ 轴的对称

如果把固定真数换成它的倒数，图象会怎样变化？设 $M>0$ 且 $M\ne1$，对同一个合法输入 $x$，先按定义写出新函数：

$$f_{1/M}(x)=\log_x\frac1M.$$

把倒数写成负一次幂：

$$\log_x\frac1M=\log_xM^{-1}.$$

使用对数的幂运算性质，把指数 $-1$ 提到对数前：

$$\log_xM^{-1}=-\log_xM.$$

最后用 $f_M(x)=\log_xM$ 换回函数记号：

$$-\log_xM=-f_M(x).$$

于是 $f_{1/M}(x)=-f_M(x)$。对同一个合法输入 $x$，两个函数值互为相反数，所以 $y=\log_xM$ 与 $y=\log_x\dfrac1M$ 的图象关于 $x$ 轴对称。

取 $M=2$，比较真数为 $2$ 和 $\dfrac12$ 的两幅图象。同一横坐标处，它们分居 $x$ 轴两侧，到 $x$ 轴的距离相等。

实线：$N=2$虚线：$N=\dfrac12$

$N=2$ 的实线与 $N=\dfrac12$ 的虚线关于 $x$ 轴对称。灰色竖虚线标出不能取的 $x=1$，两个分支没有在此相连。图中只画出曲线的一部分，绘图边界不是定义域的端点。

在 $y=\log_xN$ 中，$N$ 固定，底数 $x$ 变化。换底公式把它写成“常数除以 $\log_ax$”。

看分子符号，分清分母所在区间，就能统一理解象限、单调分支和倒数参数的对称关系。

选学对应：北师大版必修第一册第四章 *§5；人教 A 版无对应编号正文。

01自变量与定义域