基本不等式的推导与等号条件

从平方的非负性出发

先取任意两个实数 $u,v$。它们的差仍是实数，而一个实数的平方不会小于 $0$，所以

把左边按完全平方公式展开，三个项分别是 $u^2$、$-2uv$ 和 $v^2$，得到

在两边同时加上 $2uv$，不等式方向不变。左边的 $-2uv$ 被消去，于是

因此，这个不等式来自 $(u-v)^2\geqslant0$。它什么时候取等号，也要回到这个平方来看。

$u^2+v^2=2uv$ 当且仅当 $(u-v)^2=0$；而平方为 $0$ 当且仅当被平方的数为 $0$。所以，等号成立当且仅当 $u=v$。

换成两个正数的平均数

上面的不等式比较平方和与乘积。现在设 $a>0,b>0$，把这两个正数写成平方，就能把它改写成平均数之间的关系。

因为 $a,b$ 都是正数，它们的平方根有意义，可以令

把它们代入 $u^2+v^2\geqslant2uv$。利用 $(\sqrt a)^2=a$、$(\sqrt b)^2=b$ 以及正数平方根的乘法，得到

两边同时除以正数 $2$，不等式方向不变，于是得到基本不等式：

基本不等式说明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这个大小关系由平方非负推导而来。

等号条件必须沿推导追踪

写出不等式以后，还要把原来的等号条件一起带过来。原不等式取等号当且仅当 $u=v$，代入后就是

在当前正数范围内，两个平方根相等当且仅当两个数相等，所以等号条件继续转化为

因此，基本不等式中的等号成立当且仅当 $a=b$。这个条件从“平方取零”一路传递而来，与不等式本身出自同一个理由。

把两个平均数的差写成平方

还可以直接看算术平均数减去几何平均数。先把两项通分，分母统一为 $2$：

分子是一个完全平方：$a$、$b$ 分别是 $\sqrt a$、$\sqrt b$ 的平方，中间项是这两个平方根乘积的 $-2$ 倍。因此

分子是非负的平方，分母 $2$ 是正数，所以这个差不小于 $0$：

$\lvert\sqrt a-\sqrt b\rvert$ 越大，两个平均数之间的差就越大。这个差等于 $0$，仍然当且仅当 $\sqrt a=\sqrt b$，也就是 $a=b$。

正数范围与不可越过的边界

这里把基本不等式陈述在 $a>0,b>0$ 的范围内。若延伸到 $a\geqslant0,b\geqslant0$，平方根仍有意义，上面的平方恒等式也仍然成立。

但不能因此继续放宽到任意实数。只知道乘积 $ab\geqslant0$，只能保证 $\sqrt{ab}$ 有意义，不足以保证当前不等式成立。

回到约定的正数范围，推导和等号条件可以用这个差来一起理解：

右边的平方保证了差非负；平方取零又要求 $a=b$。因此，同一个平方同时解释了不等式的方向与等号条件。