基本不等式与最值

界能取到，才是最值

要说明 $F$ 的最小值是 $m$，需要两件事同时成立：所有允许取值都满足 $F\geqslant m$；并且存在允许取值使 $F=m$。最大值同理，既要有 $F\leqslant M$，也要能取到 $F=M$。

对两个正数，基本不等式给出一个大小关系：

等号成立当且仅当 $x=y$。不等式负责给出界，等号条件负责判断这个界能否在原范围内取到。只有一个界，还不能直接宣布最值。

积为定值时，和有最小值

先让积固定。设 $x>0$、$y>0$，并且 $xy=P$，其中 $P>0$ 是定值。把乘积 $xy$ 换成 $P$，基本不等式成为：

两边同乘正数 $2$，不等号方向不变，得到所有允许取值都满足的下界：

还要检查能否取到这个下界。基本不等式取等号当且仅当 $x=y$；把它与 $xy=P$ 合起来，并利用两数为正，得到：

因为 $P>0$，这组数为正，乘积也确实是 $P$，属于原范围。因此和的最小值是 $2\sqrt P$，在 $x=y=\sqrt P$ 时取得。

和为定值时，积有最大值

再让和固定。设 $x>0$、$y>0$，并且 $x+y=S$，其中 $S>0$ 是定值。把定和条件代入基本不等式：

两边都是非负数，可以同时平方，大小关系保持不变：

要取到这个上界，仍须 $x=y$。再结合 $x+y=S$，两个相等的数各占总和的一半：

因为 $S>0$，这组取值为正且满足定和条件，属于原范围。因此积的最大值是 $\dfrac{S^2}{4}$，在 $x=y=\dfrac S2$ 时取得。

从下界到最小值：核验等号

考察 $x+\dfrac4x$，其中 $x>0$。这里参与比较的两个量是 $x$ 和 $\dfrac4x$，它们都为正，而且乘积恒为 $4$。

因此可以使用基本不等式，把乘积换成 $4$，再算出它的平方根：

两边同乘正数 $2$，得到统一下界：

最后核验等号。两个量相等时取等号；在 $x>0$ 的原范围内，两边同乘非零数 $x$，再取符合范围的根：

$x^2=4$ 原本有两个实数根，但 $x>0$ 排除了 $x=-2$，所以这里的等价链只留下 $x=2$。这个值确实允许，故 $4$ 是最小值，而不只是下界。

取不到等号时，还要判断什么

现在仍设 $x>0$、$y>0$ 且 $x+y=10$，但另有限制 $x\ne5$。由前面定和求积的结论，把 $S=10$ 代入，得到：

由 $x+y=10$，任意允许取值都能写成 $x=5+t$、$y=5-t$。正数条件和 $x\ne5$ 合起来，要求 $0<|t|<5$。

先用平方差公式计算乘积；因为 $t\ne0$，所以 $t^2>0$，乘积严格小于 $25$：

任一候选，都能再增大

任取一个允许的 $t_0$，再令 $t_1=\dfrac{t_0}{2}$。因为 $0<|t_1|<|t_0|<5$，新的 $t_1$ 也给出一组允许取值。

把 $t_1=\dfrac{t_0}{2}$ 代入乘积。由于 $t_0^2>0$，减去它的四分之一，比减去它本身得到的数更大：

因此，每个允许的乘积都有更大的允许乘积。无论选哪个候选，都还能增大，所以不存在最大值。

25 是上确界，但不是最大值

“没有最大值”还没有说明能靠近 $25$ 到什么程度。再给定任意正数 $\varepsilon$，把它看作希望与 $25$ 相差不超过的距离。

可以选择一个非零的 $t$，使它的绝对值同时小于 $5$ 和 $\sqrt\varepsilon$：

$|t|<5$ 保证 $x=5+t$、$y=5-t$ 都为正；$t\ne0$ 保证 $x\ne5$，所以仍是允许取值。又由 $|t|<\sqrt\varepsilon$ 得到 $0<t^2<\varepsilon$。把这些关系代入 $xy=25-t^2$：

无论指定的正距离 $\varepsilon$ 多小，都有允许的乘积落在 $25-\varepsilon$ 与 $25$ 之间。因此 $25$ 是可以任意逼近的上界，也就是上确界；但 $t\ne0$ 使乘积永远不能等于 $25$。

两条论证各有作用：$t_1=\frac{t_0}{2}$ 说明任一候选都可增大，排除最大值；$\varepsilon$ 这条链说明上界可以任意逼近，确定这里的上确界为 $25$。