余弦定理 | OpenKS

坐标推导

把三角形放进坐标系

如图，把点 $A$ 放在原点，让 $AB$ 沿 $x$ 轴正方向，三条边的长度分别记为 $a,b,c$。由 $AC=b$ 及夹角 $A$，可得点 $C$ 的坐标为 $(b\cos A,b\sin A)$。下面利用点 $B,C$ 的坐标计算边长 $a$。

$b,c$ 夹着角 $A$，$a$ 是角 $A$ 的对边。竖括号的 $b\sin A$ 表示垂直高度；横括号的 $b\cos A$ 表示从 $A$ 到垂足的水平长度。

由坐标差计算边长

点 $B,C$ 的横坐标之差是 $b\cos A-c$，纵坐标之差是 $b\sin A$。水平距离与竖直距离分别是这两个差的绝对值；由勾股定理，平方后相加就得到 $BC$ 的平方。

$$a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2$$

将两个坐标差分别平方、相加。$BC=a$，所以左边写作 $a^2$。

$$\begin{aligned}a^2&=b^2\cos^2 A-2bc\cos A\\&\quad+c^2+b^2\sin^2 A\end{aligned}$$

展开第一个完全平方，交叉项是 $-2bc\cos A$；第二个平方为 $b^2\sin^2 A$。

$$\begin{aligned}a^2&=b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)\\&\quad+c^2-2bc\cos A\end{aligned}$$

把含 $b^2$ 的两项合在一起，提取公因式 $b^2$。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

同角基本关系 $\cos^2 A+\sin^2 A=1$，使括号内化为 $1$，得到余弦定理。

$-2bc\cos A$ 来自横坐标差的平方展开，它把夹角对第三边的影响写进了公式。

锐角与钝角

坐标证明不要求夹角为锐角

推导图先画了锐角情形。如果角 $A$ 为钝角，点 $C$ 就移到 $y$ 轴左侧；坐标表达式和距离平方的算法仍然成立。

钝角时，点 $C$ 的横坐标 $b\cos A<0$；横括号标的是实际长度 $|b\cos A|$，竖括号仍表示高度 $b\sin A$。坐标差仍可照常平方。

当 $A=90^\circ$ 时，$\cos A=0$，点 $C$ 落在 $y$ 轴上，修正项消失，得到 $a^2=b^2+c^2$。勾股定理正是余弦定理的特殊情形。

边角互求

先判断已知的是两边夹角，还是三边

两边及其夹角（SAS）：求第三边

已知 $b,c>0$ 及其夹角 $A\in(0,\pi)$，先求 $a^2$，再取正平方根：

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$$

边长为正，所以只取正根。这里的 $A$ 必须是已知两边 $b,c$ 的夹角。

三边（SSS）：求角

先确认三边为正，且任意两边之和大于第三边，能组成三角形。再把余弦定理改写为：

$$2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$$

将余弦项移到左边，将 $a^2$ 移到右边。

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

两边除以正数 $2bc$，得到角 $A$ 的余弦值。

余弦函数在 $(0,\pi)$ 上严格递减，因此这个余弦值唯一确定内角 $A$。另外两个角也可以用轮换后的公式求出。

例子与总结

同一组数据，先求边再求角

设 $b=3$，$c=4$，两边夹角 $A=60^\circ$。先代入余弦定理：

$$\begin{aligned}a^2&=3^2+4^2\\&\quad-2\times3\times4\times\frac12\\&=13\end{aligned}$$

把 $\cos60^\circ=\frac12$ 代入，得到 $a^2=13$，所以 $a=\sqrt{13}$。

$$\begin{aligned}\cos A&=\frac{3^2+4^2-(\sqrt{13})^2}{2\times3\times4}\\&=\frac12\end{aligned}$$

再用三边反求角，得到 $\cos A=\frac12$，与 $A=60^\circ$ 一致。

完整公式与使用条件

分别以另外两个顶点为原点，作同样的坐标计算，轮换边角字母，得到三条公式：

$$\begin{aligned}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B\\c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C\end{aligned}$$

每一行中，余弦对应的角都是右边两条边的夹角，也是左边那条边的对角。

适用范围：任意三角形，锐角、直角、钝角都适用。

两边夹角求边：用对应公式计算边长平方，再取正根。

三边求角：先检查三角形不等式，再求余弦值，并在 $(0,\pi)$ 内确定角。

直角情形：在已成立的三角形中，$A=90^\circ$ 与 $a^2=b^2+c^2$ 相互等价，因为二者都对应 $\cos A=0$。

01坐标推导