数列的递推表示

递推：用前面的项求后面的项

递推表示，是通过初始项和项与项之间的关系来确定数列的一种方法。本文讨论每一步都能由已知项唯一求出新项的情形。

例如，用 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_{n+1}$ 表示后一项，序号 $n$ 取正整数：

这个关系表示：从第 2 项起，每一项都是前一项的 $3$ 倍。给定首项后，就可以按这个关系依次求出后面的项。

初始项给出起点，递推公式给出规则

递推需要足够的初始项和递推公式。初始项是计算的起点，递推公式说明怎样继续计算。

数列从第 1 项开始，序号 $n$ 取正整数，$a_n$ 表示第 $n$ 项，项值为实数。当 $n\geqslant2$ 时，$a_{n-1}$ 表示前一项。给定首项为 $1$，再把“前一项乘 $3$”写成公式：

这里 $a_1=1$ 给出起点，$a_n=3a_{n-1}$ 给出规则。下标从 $2$ 开始，因为第 1 项已给定，而 $a_0$ 尚未定义。

把刚算出的项用于下一步

从首项开始，每次把前一项乘 $3$：

若只把首项改为 $2$，同一规则就得到 $2,6,18,54,\ldots$。因此，仅有这条规则还不能确定数列，初始项也必须明确。

递推能够继续的条件

初始信息必须足够

需要哪些初始项，取决于具体规则，不能只数公式里出现了几项。从最早允许使用的下标开始，计算所需的项应当已经确定；算出新项后，还要能继续下一步。

每一步运算都要有意义

乘 $3$ 的运算总能继续；含有分母的规则还要保证分母不为 $0$。例如：

前几项能算出，并不能保证以后都能计算。这里，首项为正；只要前一项为正，下一项就大于 $1$，所以各项始终为正，分母不会为 $0$。

若改取 $a_1=-1$，则 $a_2=1+\frac{1}{-1}=0$，计算 $a_3$ 时分母为 $0$，递推便中断，无法定义一直延续下去的无穷数列。

新项必须唯一确定

运算有意义，还不等于结果唯一。若只给出 $a_1=1$ 和 $a_n^2=a_{n-1}^2$（$n\geqslant2$），则 $a_2$ 可以是 $1$，也可以是 $-1$。这种关系没有唯一选定下一项。

下标范围还应覆盖所有待求项。若讨论有穷数列，应写清最后一项的序号，递推只进行到那里。

递推公式与通项公式的区别

通项公式直接给出序号 $n$ 与项 $a_n$ 的对应，通常代入序号即可求值。递推公式给出项与项的关系，往往要先确定前面的项，再求后面的项。

即使没有简洁的通项公式，充分的初始条件和每步都有意义、结果唯一的递推规则，也能确定数列。这种确定性来自给定条件，而不是对前几项规律的猜测。

核心结论