B 函数图像与变化关系 · 07

典型幂函数的图象与性质

幂函数都有 $y=x^\alpha$ 的形式，但指数不同，定义域、图象的对称方式和变化方向都可能改变。比较 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=\sqrt{x}$ 和 $y=\dfrac1x$ 这五个典型函数，先确定哪些 $x$ 能取，再看值域、奇偶性和单调区间。

定义域

先看定义域为什么不同

先检查表达式有没有意义。$y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$ 对任意实数 $x$ 都有意义，所以定义域都是 $\mathbb R$。

平方根要求被开方数非负，所以 $y=x^{\frac12}=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty)$。这里包含 $0$。

负指数表示倒数，所以 $y=x^{-1}=\dfrac1x$ 必须排除 $x=0$，定义域是 $(-\infty,0)$ $\cup$ $(0,+\infty)$。

定义域直接限制了图象的位置。平方根函数的图象只在 $y$ 轴上及其右侧；反比例函数的图象分布在 $x<0$ 和 $x>0$ 两部分，而且不经过坐标轴。

性质对照

五个函数的性质对照

在各自的定义域内，比较五个函数实际能取到的值、图象的对称方式和变化方向。

五个典型幂函数的性质
函数定义域值域奇偶性单调性
$y=x$$\mathbb R$$\mathbb R$奇函数在 $\mathbb R$ 上递增
$y=x^2$$\mathbb R$$[0,+\infty)$偶函数在 $(-\infty,0]$ 上递减，
在 $[0,+\infty)$ 上递增
$y=x^3$$\mathbb R$$\mathbb R$奇函数在 $\mathbb R$ 上递增
$y=\sqrt{x}$$[0,+\infty)$$[0,+\infty)$既非奇函数
也非偶函数		在 $[0,+\infty)$ 上递增
$y=\dfrac1x$$(-\infty,0)$ $\cup$ $(0,+\infty)$$(-\infty,0)$ $\cup$ $(0,+\infty)$奇函数在 $(-\infty,0)$、
$(0,+\infty)$ 上分别递减

这些性质彼此有关。定义域决定能否比较 $x$ 与 $-x$，从而影响奇偶性的判断；定义域由哪些区间组成，又决定单调性应当在哪些区间分别描述。

对照下面五幅图，观察图象出现的位置、对称方式和从左向右的变化方向。每幅图都用圆点标出 $(1,1)$。

图中只显示坐标窗内的一部分，曲线到达图框边缘，并不表示函数在那里结束。平方根图象在原点的实心端点表示 $x=0$ 可以取到。

$y=x$

y=x 的图象 图象是一条经过原点的直线，关于原点对称。在整个实数范围内，输入增大，函数值也增大。 圆点标出公共点（1，1）；坐标窗仅展示图象的一部分。 −2−2−1−11122xyO
公共点 $(1,1)$
图象是一条经过原点的直线，关于原点对称。在整个实数范围内，输入增大，函数值也增大。

$y=x^2$

y=x^2 的图象 图象关于 y 轴对称，函数值不小于 0。以 x=0 为分界，左侧递减，右侧递增。 圆点标出公共点（1，1）；坐标窗仅展示图象的一部分。 −2−2−1−11122xyO
公共点 $(1,1)$
图象关于 $y$ 轴对称，函数值不小于 $0$。以 $x=0$ 为分界，左侧递减，右侧递增。

$y=x^3$

y=x^3 的图象 图象关于原点对称。在整个实数范围内，输入增大，函数值也增大；经过原点时，变化方向没有改变。 圆点标出公共点（1，1）；坐标窗仅展示图象的一部分。 −2−2−1−11122xyO
公共点 $(1,1)$
图象关于原点对称。在整个实数范围内，输入增大，函数值也增大；经过原点时，变化方向没有改变。

$y=\sqrt{x}$

y=\sqrt{x} 的图象 图象从实心端点 (0,0) 开始，只向右延伸。在 [0,+\infty) 上递增，定义域不关于原点对称。 圆点标出公共点（1，1）；坐标窗仅展示图象的一部分。 −2−2−1−11122xyO
公共点 $(1,1)$
图象从实心端点 $(0,0)$ 开始，只向右延伸。在 $[0,+\infty)$ 上递增，定义域不关于原点对称。

$y=\dfrac1x$

y=\dfrac1x 的图象 图象分为两支，分别位于 x<0 和 x>0 的部分，且不经过坐标轴。每一支都递减，两支不能合成一个单调区间。 圆点标出公共点（1，1）；坐标窗仅展示图象的一部分。 −2−2−1−11122xyO
公共点 $(1,1)$
图象分为两支，分别位于 $x<0$ 和 $x>0$ 的部分，且不经过坐标轴。每一支都递减，两支不能合成一个单调区间。

五幅图的共同点是都经过 $(1,1)$，但整体形状与变化方向不同。接下来分别从输入变号和函数值比较说明这些差别。

图象对称

指数怎样改变对称性

看图象的对称性，要回到相反输入对应的函数值。对 $y=x^2$，输入变号后有 $(-x)^2=x^2$。相反输入得到相同输出，所以图象关于 $y$ 轴对称。

对 $y=x$、$y=x^3$ 和 $y=\dfrac1x$，输入变号后，函数值也变号。因此，它们的图象都关于原点对称。

$y=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty)$，不关于原点对称。负数没有对应的函数值，无法对定义域中每个 $x$ 都比较相反输入的函数值，所以它既不是奇函数，也不是偶函数。不能只凭图象的一侧判断奇偶性。

单调区间

单调性必须带着区间说

图象能帮助观察变化方向，判断单调性时仍要说明比较的是哪个区间内的输入。$y=x$ 在整个实数范围内随输入增大而增大。

立方函数：作差说明递增

对 $y=x^3$，任取实数 $x_1<x_2$，比较两个函数值。把差 $x_2^3-x_1^3$ 按立方差公式分解：

$$\begin{aligned}&x_2^3-x_1^3\\&\quad= (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).\end{aligned}$$

因为 $x_1<x_2$，第一个因式 $x_2-x_1$ 为正。第二个因式可以改写成平方和：

$$\begin{aligned}&x_1^2+x_1x_2+x_2^2\\&\quad=\frac12\bigl[(x_1+x_2)^2+x_1^2+x_2^2\bigr].\end{aligned}$$

右侧各平方项都非负。它们的和只有在 $x_1=x_2=0$ 时才可能等于 $0$，但这与 $x_1<x_2$ 矛盾。因此，第二个因式严格大于 $0$。

两个因式都为正，所以 $x_2^3-x_1^3>0$，即 $x_2^3>x_1^3$。这对任意 $x_1<x_2$ 都成立，因此 $y=x^3$ 在 $\mathbb R$ 上递增。

平方与平方根：先确定区间

$y=x^2$ 以 $x=0$ 为分界。在负半轴上，$x$ 向 $0$ 靠近时，$|x|$ 变小，平方也变小；越过 $0$ 后，$x$ 与平方一起增大。

因此，它在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增。

平方根函数只允许非负输入，并在自己的整个定义域 $[0,+\infty)$ 上递增。

倒数函数：两个区间分别递减

对 $f(x)=\dfrac1x$，在 $(-\infty,0)$ 或 $(0,+\infty)$ 中任取 $x_1<x_2$。两数同号，所以 $x_1x_2>0$。把两个函数值的差通分：

$$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\frac1{x_1}-\frac1{x_2}\\&=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0.\end{aligned}$$

通分后的分子是 $x_2-x_1$，由 $x_1<x_2$ 可知它为正；分母 $x_1x_2$ 也为正，所以差大于 $0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$。因此，函数在这两个区间上分别递减。

两个区间不能合并成一个单调区间。例如，跨过 $0$ 取 $-1$ 和 $1$，虽然 $-1<1$，但代入得到

$$f(-1)=-1<1=f(1).$$

这里较小的输入反而得到较小的函数值，不满足递减所需的 $f(-1)>f(1)$。所以，必须保留“在 $(-\infty,0)$、$(0,+\infty)$ 上分别递减”的区间条件。

核心结论

相同形式不等于相同性质

这五个函数都经过点 $(1,1)$，因为把 $x=1$ 代入，都会得到函数值 $1$。一个公共点不能决定整幅图象，也不能说明它们具有相同的性质。

理解典型幂函数时，先由指数确定表达式有意义的范围，再在这个范围内判断值域、对称性和单调区间。

先确定定义域，再判断性质。不能把某一个典型函数的性质套给所有幂函数。