先展开，再还原
先从两个整式相乘开始。把乘积展开，观察它怎样变成多项式：
展开以后，原来的两个因式变成了一个由若干项通过加减连接的多项式。
现在沿相反方向，把中间项 $5x$ 重新写成 $8x-3x$，再把这个多项式恢复成乘积：
原式重新变成两个整式相乘的形式，其中 $2x-3$ 和 $x+4$ 都叫作因式。把一个多项式化成若干整式的积，就叫作因式分解。
接下来，我们要学习如何从多项式中找到乘积结构。各项共同含有的部分，通常就是最先能够确定的因式。
从公因式开始
以 $12x^3-18x^2+12x$ 为例，先观察每一项共同含有什么。
三项系数的绝对值 $12,18,12$ 的最大公因数是 $6$，每一项也都含有 $x$。把共有的 $6x$ 提出：
$6x$ 出现在原式的每一项中，因此它是原式的公因式。提出以后，原来的三次多项式变成了一个单项式与二次多项式的乘积。
寻找完整公因式时，依次检查：
- 检查数字取各项系数的最大公因数。
- 检查字母取各项共有字母的最低次数。
- 检查重复整式相同括号反复出现时，把整个括号看作共同因式。
- 检查符号提出负号能够使括号内结构更清楚时，可以同时提出负号。
公因式也可以是一个多项式整体：
两项都含有完整因式 $x-2$，提出以后再整理另一个括号。
提出公因式只是找到了第一层乘积结构。括号内部可能还能继续分解，因此下一步要检查剩余部分是否完整符合已经学过的公式。
再看公式结构
提出公因式以后，括号内可能出现新的结构。以 $12x^2-75$ 为例，先提出公因数 $3$：
先提出公因数 $3$，括号内的平方差结构随之显现。
括号内是 $(2x)^2-5^2$，继续使用平方差公式。
这个过程先用公因式降低式子的复杂程度，再用平方差公式找到剩余的两个因式。公因式和公式可以连续使用。所有因式都检查过以后，还要根据题目目标判断应该在什么位置停止。
剩余部分具有两项或三项时，再检查它是否完整符合下面的平方或立方结构：
- $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$两项都是完全平方，中间为减号时使用。
- $A^2\mathbin{\substack{+\\[0.1em]-}}2AB+B^2=(A\mathbin{\substack{+\\[0.1em]-}}B)^2$首尾两项都是平方，中间项是首尾底数乘积的 2 倍时使用。
- $A^3\mathbin{\substack{+\\[0.1em]-}}B^3=(A\mathbin{\substack{+\\[0.1em]-}}B)(A^2\mathbin{\substack{-\\[0.1em]+}}AB+B^2)$两项都是完全立方时使用；第一个因式与原式同号，第二个因式的中间项反号，末项始终为正。
沿因式分解方向使用公式时，项数、指数、系数和符号都要完整匹配。立方和差公式中，$B^2$ 前始终是加号；$x^2+25$ 是两个平方的和，在实数范围内不能使用平方差公式分解。
得到乘积以后，还要继续检查每一个因式，判断分解是否已经达到题目需要的位置。
分解到什么程度
已经得到乘积以后，还要根据当前目标判断是否需要继续分解。
题目直接要求“因式分解”时，通常要继续检查每个非常数因式。前面的 $12x^2-75$ 应写到 $3(2x-5)(2x+5)$，两个一次因式已经不能继续分解。
在其他问题中，因式分解也可以作为中间工具。如果当前只需要提出公因数 $3$，写到 $3(4x^2-25)$ 已经显出所需结构，可以在这里停止。
说一个式子“不能再分解”时，还要说明系数范围。本章前三篇主要在整数或有理数系数范围内寻找因式；后面的求根公式与由根写因式会继续判断实数范围内的分解。
从哪里开始
先提出每一项共有的公因式，再检查剩余部分是否完整符合公式；每完成一步，都要继续检查各个因式。
分解到什么程度
题目直接要求因式分解时，要继续检查到指定范围内不能再分解；因式分解作为中间工具时，可以在所需结构出现后停止。
还有一些多项式没有整体公因式，也不直接符合公式。例如 $3x^3-6x^2+5x-10$，前两项和后两项分别含有共同部分。下一篇继续用这个式子，说明怎样通过分组让新的共同因式显现。