先从一个式子开始
先研究系数为整数，并通过整数因数配对寻找一次因式的情形。对于 $x^2-7x+12$，因为 $x^2=x\cdot x$，两个一次因式的首项都应当是 $x$。
先把两个未知常数留成空位。它们的积要恢复常数项 $12$，和要恢复一次项系数 $-7$。
$-3$ 与 $-4$ 同时满足积与和的条件，可以填入两个括号。
常数项和一次项都已经对应，两个一次因式随之确定。
把右边乘回去，可以检查这两个因式是否正确：
常数 $-3,-4$ 的积恢复了常数项 $12$，它们的和恢复了一次项系数 $-7$。这就是首项系数为 $1$ 时的十字相乘。
把刚才的观察写成一般形式：
分解 $x^2+bx+c$ 时，需要寻找两个整数 $m,n$，使
$c>0$ 时两个数同号，$c<0$ 时两个数异号；最后仍要用它们的和检查一次项系数。首项系数为 $1$ 时，首项的拆法已经确定；首项系数不为 $1$ 时，首项也有多种因数配对，需要进一步检查交叉项。
首项系数不为 1
现在分解 $6x^2+11x+3$。二次项可以由 $3x$ 与 $2x$ 相乘得到，常数项可以由 $1$ 与 $3$ 相乘得到，再用交叉项检查它们的排列。
两条交叉乘积相加正好得到中间项 $11x$，所以这组排列成立：
同一个交叉关系也可以通过拆分中间项写出来。因为 $ac=6\times3=18$，而 $9+2=11$、$9\times2=18$，所以：
把中间项 $11x$ 拆成 $9x+2x$。
两组分别提出公因式，得到相同的括号 $2x+3$。
提出共同括号，恢复出两个一次因式。
拆分中间项和交叉配对使用的是同一个乘法结构。
从例子得到一般关系
前两个例子都在用首项、常数项和交叉项确定因式。把两个一次因式完整展开，就能得到一般的对应关系。
设二次三项式能够写成这两个一次因式的乘积。
使用分配律得到四个乘积，中间两个是交叉项。
合并两个一次项，得到与 $ax^2+bx+c$ 对应的三项。
$mp$ 决定二次项，$nq$ 决定常数项，两条交叉乘积 $mq$ 与 $np$ 的和决定一次项。三个位置全部对应，才能写成两个一次因式的乘积。
当 $a\ne1$ 时，两个交叉乘积的和等于 $b$，积等于 $ac$：
因此可以先寻找两个整数 $r,s$，使 $r+s=b$、$rs=ac$，再用 $rx+sx$ 拆开中间项，通过分组恢复两个一次因式。
例如，把分数系数整理到括号外，再分解括号内的二次三项式：
外面的 $\frac12$ 始终保留，乘回去才能恢复原式。
同一个整式反复出现时，可以先把它看成一个字母。令 $T=x+1$：
先按关于 $T$ 的二次三项式完成分解，再把 $T$ 换回原来的整式。
这些整理能够让二次三项式的结构更清楚。十字相乘是否适合继续使用，还要看整数因数配对是否容易完成。
什么时候停止试配
再看 $12x^2+10x-5$。这里 $ac=-60$，要拆分中间项，需要找到积为 $-60$、和为 $10$ 的两个整数。
$60$ 的正因数配对共有六组。两个数异号时，它们的和的绝对值等于这对正因数的差：
这些差中没有 $10$。通过整数因数配对无法拆分中间项，继续逐组试配已经没有意义。它能否分解成有理数或实数系数的一次因式，需要用判别式统一判断。
什么时候使用
已经提出公因式，又不符合完整公式，并且 $ac$ 的整数因数配对较少时，十字相乘通常能快速找到两个一次因式。
什么时候换方法
因数配对明显增多、全部整数配对都不符合条件，或者需要判断实数范围内的分解情况时，转向判别式和求根公式。
下一篇继续处理 $12x^2+10x-5$：整数配对已经停止，将通过判别式和求根公式求出对应方程的实数根。