从配方得到求根公式
从一般的一元二次方程出发，把含 $x$ 的部分配成完全平方。
$$ax^2+bx+c=0\qquad(a\ne0)$$
这是一般的一元二次方程，$a\ne0$ 也保证最后可以除以 $2a$。
$$4a^2x^2+4abx+4ac=0$$
等式两边同时乘以 $4a$，让含 $x$ 的部分接近完全平方结构。
$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$$
把 $4ac$ 移到右边，再在等式两边同时加上 $b^2$。
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$
左边符合完全平方公式。
$$\Delta=b^2-4ac$$
把右边记作判别式 $\Delta$。
$$2ax+b=\sqrt{\Delta}\quad\text{或}\quad2ax+b=-\sqrt{\Delta}$$
当 $\Delta\ge0$ 时，在实数范围内开平方，得到两个可能值。
分别移项并除以 $2a$，得到两个根的表示；当 $\Delta=0$ 时，两个根相等：
第一个根
$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
第二个根
$$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
用判别式判断根与因式
由 $(2ax+b)^2=\Delta$ 可以直接判断实数根的情况。求得根以后，根 $x_i$ 对应因式 $x-x_i$，首项系数 $a$ 保留在乘积外。
$\Delta>0$
两个不同的实数根 $x_1,x_2$
$a(x-x_1)(x-x_2)$
$\Delta=0$
一个二重实数根 $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
$a(x-x_0)^2$
$\Delta<0$
没有实数根
不能分解成两个实系数一次因式的乘积
判别式先确定实数根的情况；当 $\Delta\ge0$ 时，再计算根并写出相应的因式。
回到原来的式子
现在回到 $12x^2+10x-5$，按照刚才的顺序计算。
$$12x^2+10x-5=0$$
令多项式等于 $0$，把因式分解转化为对应方程的求根问题。
$$a=12,\qquad b=10,\qquad c=-5$$
连同正负号识别三个系数。
$$\begin{aligned}
\Delta
&=10^2-4\times12\times(-5)\\
&=340
\end{aligned}$$
因为 $\Delta=340>0$，方程有两个不同的实数根。
$$\begin{aligned}
x_1&=\frac{-10+\sqrt{340}}{24}=\frac{-5+\sqrt{85}}{12},\\
x_2&=\frac{-10-\sqrt{340}}{24}=\frac{-5-\sqrt{85}}{12}
\end{aligned}$$
分别代入求根公式，并用 $\sqrt{340}=2\sqrt{85}$ 化简。
$$\begin{aligned}
12x^2+10x-5
&=12(x-x_1)(x-x_2)\\
&=12\left(x+\frac{5-\sqrt{85}}{12}\right)
\left(x+\frac{5+\sqrt{85}}{12}\right)
\end{aligned}$$
保留首项系数 $12$，再把两个根分别写成一次因式。
$\sqrt{85}$ 是无理数，因此这是实系数范围内的因式分解；在有理数范围内，原式不能分解成两个一次因式。
求根公式法的顺序是：识别 $a,b,c$，计算 $\Delta$，求出实数根，再由根写出因式。